已知数列{an}满足a1=1，且对任意n∈N∗...,求数列{an}的通项公式..._问答详情_问老鸟

已知数列{an}满足a1=1，且对任意n∈N∗...,求数列{an}的通项公式...

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已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ =1，且对任意 $n \in N^{*}$ ，都有：

$a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{3 a_{n} + 1}$

（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（2）设 $b_{n} = a_{n}$ ，求数列 ${b_{n} b_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

（3）证明：对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $S_{n} < \frac{1}{3}$ 。

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回答时间：2026-07-23 21:52:52

3 楼

参考答案与解析：

（1）求通项公式 $a_{n}$

看到递推关系式中有分母且含有 $a_{n}$ ，优先考虑取倒数构造等差数列。

由

$a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{3 a_{n} + 1}$

两边同时取倒数，得：

$\frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{3 a_{n} + 1}{a_{n}} = 3 + \frac{1}{a_{n}}$

即：

$\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}} = 3$

所以数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是首项为 $\frac{1}{a_{1}} = 1$ ，公差为 $3$ 3 的等差数列。

根据等差数列通项公式：

$\frac{1}{a_{n}} = 1 + 3 (n - 1) = 3 n - 2$

因此：

图片.png

（2）求数列

因为 $b_{n} = a_{n}$ ，所以：

$b_{n} b_{n + 1} = a_{n} a_{n + 1} = \frac{1}{(3 n - 2) (3 n + 1)}$

这是一个标准的裂项相消形式，将其拆分为：

$\frac{1}{(3 n - 2) (3 n + 1)} = \frac{1}{3} (\frac{1}{3 n - 2} - \frac{1}{3 n + 1})$

于是前 $n$ n 项和：

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{(3 k - 2) (3 k + 1)}$ $= \frac{1}{3} [(1 - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{7}) + \dots + (\frac{1}{3 n - 2} - \frac{1}{3 n + 1})]$

中间项全部抵消，只剩下首尾两项：

$S_{n} = \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{3 n + 1})$

化简得：

（3）证明不等式 $S_{n} < \frac{1}{3}$

由第（2）问知：

$S_{n} = \frac{n}{3 n + 1}$

因为 $n \in N^{*}$ ，显然分母 $3 n + 1 > 3 n$ （正数），所以：

$\frac{n}{3 n + 1} < \frac{n}{3 n} = \frac{1}{3}$

因此：

图片.png

证毕。

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