（1）总成本函数 $C\left(r\right)$及定义域

• 容积约束：

$\mathrm{ \; \; \; \; \; \; \; \; \pi }{r}^{2}h=300\pi ⟹h=\frac{300}{r^2}(r>0)$

• 表面积与成本：

• 侧面积： $2\pi rh$，成本 $0.1\times 2\pi rh=0.2\pi rh$；

• 两个底面积： $2\times \pi r^2$ ，成本 $0.2\times 2\pi r^2=0.4\pi r^2$

• 总成本函数：

$\mathrm{ \; \; \; \; \; \; \; \; \; C}\left(r\right)=0.2\pi r\cdot \frac{300}{r^2}+0.4\pi r^2=\frac{60\pi }{r}+0.4\pi r^2(r>0)$

（2）求最低成本

• 求导分析：

${\mathrm{ \; \; \; \; \; \; C}}^{\prime }\left(r\right)=-\frac{60\pi }{r^2}+0.8\pi r$

          令 $C^{\prime }\left(r\right)=0$：$\; \;$

$\; \; \; \; \; \; -\frac{60\pi }{r^2}+0.8\pi r=0⟹0.8r^3=60⟹r^3=75⟹r=\sqrt[3]{75}\approx 4.22\text{cm}$

• 验证极小值：

• 当 $r<\sqrt[3]{75}$ 时， $C^{\prime }\left(r\right)<0$，函数单调递减；

• 当 $\mathrm{ r} \; >\sqrt[3]{75}$ 时， $C^{\prime }(r)>0$，函数单调递增；

        因此 $\mathrm{ r}=\sqrt[3]{75}$ 为极小值点,且为全局最小值点。

• 最低成本：

       $C\left(\sqrt[3]{75}\right)=\frac{60\pi }{\sqrt[3]{75}}+0.4\pi \cdot 75^{2/3}=0.8\pi \cdot 75^{2/3}\approx 0.8\times 3.1416\times 11.05\approx \; 27.77元$
  

（3）约束条件 $2\le r\le 5$ 下的最小成本

• 比较端点与临界点：

• 临界点 $r\approx 4.22\in [2,5]$，对应成本 $\approx 27.77\text{元}$；

• 端点 $r=2$：

$\mathrm{ \; \; \; \; \; \; \; \; C}\left(2\right)=\frac{60\pi }{2}+0.4\pi \cdot 4=30\pi +1.6\pi =31.6\pi \approx 99.26\text{元}$

• 端点 $r=5$：

$\mathrm{ \; \; \; \; \; \; \; \; C}\left(5\right)=\frac{60\pi }{5}+0.4\pi \cdot 25=12\pi +10\pi =22\pi \approx 69.12\text{元}$

• 结论：

             在 $[2,5]$内，最小成本出现在 $r\approx 4.22\text{cm}$，为 27.77元 。

解题思路：

1. 实际问题建模：通过几何约束（容积）建立函数关系；

2. 导数应用：利用导数求函数极值，判断单调性；

3. 闭区间最值：结合临界点与端点值确定最小成本；

4. 数学计算能力：涉及立方根、代数化简及数值近似