参考答案与解析：

（1）求通项公式$a_n$an

看到递推关系式中有分母且含有$a_n$an，优先考虑取倒数构造等差数列。

由

$a_{n+1}=\frac{a_n}{3a_n+1}$

两边同时取倒数，得：

$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{3a_n+1}{a_n}=3+\frac{1}{a_n}$

即：

$\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=3$

所以数列$\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$是首项为$\frac{1}{a_1}=1$，公差为$3$3 的等差数列。

根据等差数列通项公式：

$\frac{1}{a_n}=1+3(n-1)=3n-2$

因此：

（2）求数列

因为$b_n=a_n$，所以：

$b_n{b}_{n+1}=a_n{a}_{n+1}=\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$

这是一个标准的裂项相消形式，将其拆分为：

$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{1}{3}(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1})$

于是前$n$n 项和：

$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}$$=\frac{1}{3}[(1-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{7})+\cdots +(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1})]$

中间项全部抵消，只剩下首尾两项：

$S_n=\frac{1}{3}(1-\frac{1}{3n+1})$

化简得：

（3）证明不等式$S_n<\frac{1}{3}$

由第（2）问知：

$S_n=\frac{n}{3n+1}$

因为$n\in N^{\ast }$，显然分母$3n+1>3n$（正数），所以：

$\frac{n}{3n+1}<\frac{n}{3n}=\frac{1}{3}$

因此：

证毕。